[MATH/공수] 1계 상미분방정식 푸는 법
미분방정식
도함수를 포함하는 방정식을 미분방정식이라 한다
미분방정식에도 종류가 많은데 기준을 독립변수의 수라고 하면 1개인 경우가 상미분방정식, 여러 개인 경우가 편미분방정식이다.
미분방정식의 차수
미분방정식안에 들어있는 도함수 중에 최고로 높은 차수, 그러니까 제일 많이 미분했는 항이 몇 번 미분한 건지가 그 미분방정식의 차수가 된다.
1계 상미분방정식
독립변수 하나에 최고차수가 1차, 그러니까 한번 미분한 함수가 최고인 미분방정식이다.
아래에 나오는 미분방정식은 전부 1차임을 가정하고 푼다.
이런 미분방정식을 푸는 법에는 여러가지가 있다.
- 변수분리 풀이법
- 완전미분방정식 풀이법
- 선형상미분방정식 풀이법
- 베르누이 방정식 풀이법
변수분리
가장 쉽게 떠올릴 수 있는 방법으로, 같은 것끼리 묶어둔 꼴(독립변수는 전부 우변, 종속변수는 전부 좌변 이런 식)로 정리를 한 뒤에 독립변수에 대해 적분을 하면 된다. \(\frac{y}{x}\) 꼴로 정리되는 미분방정식도 있는데 그 때는 그 분수 통째로 치환해서 정리하면 변수분리가 가능해진다.
\(g(y)\dot{y}=f(x)\)
\({\int_{}{}g(y)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x}={\int_{}{}f(x)\text{d}x} + c\)
여기서 골때리는게 나는 미분법이라던가 적분법을 모른다.
걱정하지 말자, 군대갔다오면 전부 그렇다. 나도 \(x^{n}\) 미분못해서 충격받고 한참 울었다.
어쩔 수 없지. 자주 나오는 미분법과 적분법을 외워 보자.
자주나오는 미분
미분할 때 규칙이다.
- 상수 미분하면 0
- 분배법칙 성립
- 두 종속변수의 곱을 미분하면 각각을 따로 미분해서 더하면 됨
- 두 종속변수의 분수꼴을 미분하면 분모는 제곱, 분자는 따로 미분해서 빼면됨
- 체인 룰 성립
다항함수는 이렇게 미분한다.
지수를 아래로 내리고 지수에 1을 빼면 된다.
\({(x^{n})}^\prime = nx^{n - 1}\)
지수함수, 삼각함수, 쌍곡함수는 이렇게 미분한다.
\({(e^{x})}^\prime = e^{x}\)
\({(a^{x})}^\prime = {a^{x}}\ln(a)\)
\((\sin(x))^\prime = \cos(x)\)
\(\cos(x)^\prime = -\sin(x)\)
\(\tan(x)^\prime = \sec^2(x)\)
\(\cot(x)^\prime = -\csc^2(x)\)
\(\sinh(x)^\prime = \cosh(x)\)
\(\cosh(x)^\prime = \sinh(x)\)
이상한 내 친구처럼 고등학교 졸업하고 대학교 1학년에 미적보다 공수1을 먼저 듣거나 군대를 갔다온 사람이라면 쌍곡함수는 몰라야 정상이다. 어차피 미적분수업아니니까 자세히 알 필요는 없고 분자에 자연상수로 이상한 짓거리를 한 분수 정도로 알면 된다. 삼각함수랑 아무짝에도 관련없다. 자연상수 미분하면 똑같이 나오니까 -1이 안붙는다고 이해하면 된다.
로그함수, 역삼각함수는 이렇게 미분한다.
\((\ln{x})^\prime = \frac{1}{x}\)
\((\log_{a}{x})^\prime = \frac{1}{x\ln{a}}\)
\((\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
\((\arccos{x})^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
\((\arctan{x})^\prime = \frac{1}{1 + x^2}\)
\((\arccot{x})^\prime = -\frac{1}{1 + x^2}\)
자주 나오는 적분
적분은 미분의 역연산이다.
타자치기가 귀찮다.
완전상미분방정식과 적분인자
첫번째,
어떤 함수가 독립변수 두 개를 가지고 있다고 하자. 그 때 각각의 독립변수에 대해 편미분한 함수가 모두 연속이면 그것의 전미분이
\(du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy\) 이다.
기억은 안나지만 군대가기 전에 이 사실을 배웠다고 한다. 받아들이자.
두번째,
상수를 미분하면 0이 나온다.
어떤 미분방정식을 정리해보았더니 좌변이 완전미분이고 우변이 0나오면 이걸 완전미분방정식이라고 부르고 위 두 사실을 이용해서 원래 함수를 찾을 수 있다.
완전미분의 꼴임을 어떻게 알 수 있는가
\(y^\prime = \frac{dy}{dx}\) 이다.
양 변에 dx를 곱하고 dx와 dy에 대한 항으로만 묶이는 꼴로 정리가 가능하면 일단 완전미분일 가능성이 있다.
이렇게 정리를 해두었을 텐데 M과 N이 각각 우리가 구하려는 함수의 x에 대한 편미분, y에 대한 편미분이어야 한다.
만약 위 식이 완전미분방정식이라면 M을 y에 대해 편미분한 값과 N을 x에 대해 편미분한 값이 같아야 한다(연속성의 가정).
만약에 같다?
그러면 둘 중에 적분하기 쉬운거 하나 골라서 적분하고 미분하고 물고 빨다보면 풀린다. 자세한 과정은 laTex문법을 잘 몰라서 안적겠다. 여기까지 읽을 정도의 깡과 집중력이라면 이 정도는 스스로 찾아볼 수 있다고 생각한다. 잠깐 구글에 first order exact ODE라고 검색해서 읽어보자.
적분인자
\[P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0\]문제를 막 풀다가 결국 위 꼴로 방정식이 정리가 된다면
교수님이 이 문제를 완전미분방정식 풀이법으로 풀라고 만들었다는 뜻이다. 근데 좌변이 완전미분이 아닐 때가 있다.
이럴 때는 특정한 함수를 양 변에 곱해서 완전미분방정식으로 만들어보라는 뜻이다.
그 특정함수를 적분인자라고 부르고 적어도 내가 공수1 시험에서 봤던 문제들에서는 적분인자가 하나의 변수만의 함수였다. 그러므로 적분인자 F함수가 x 또는 y만의 함수임을 가정하고 정리하면 최종적으로
\(F(x) = e^{\int_{}^{}R(x)dx }, R(x) = \frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x})\)
또는
\(F(y) = e^{\int_{}^{}R(y)dy }, R(x) = \frac{1}{P}(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\)
이렇게 된다. 나는 x변수일때 큐피큐, y변수일때 피큐피 이렇게 외웠다.
적분인자를 구했으면 원래 정리된 미분방정식의 양 변에 곱하고 적분하고 미분하고 물고 빨다보면 답나온다.
선형상미분방정식
선형이 무엇인가에 대해 고민할 필요가 있다. 이게 고차 선형상미분방정식을 선형대수학적으로 이해하는데에 열쇠가 된다. 이거 이해하려고 개고생했다. 그러니 이 글을 읽는 사람들은 한방에 이해하길 바란다. 이거 진짜 중요하다.
여기서 또 골때리는게 군대를 갔다온 우리 친구들은 선형대수학을 문서상으로는 이수했는데 머릿속에는 없다라는 특징을 가지고 있다.
여기서 잠깐 끊고 유튜브에 3Blue1Brown이라고 검색하고 그 채널에서 “Essence of linear algebra” 시리즈 6강까지 보고 다시 돌아오자. 영상이 꽤 많긴한데 이거 안보면 내가 밟은 길을 여러분도 그대로 밟게된다. 한마디로 개고생한다. 일단 보고 오자.
선형성을 만족하는 방정식은 중첩의 원리가 적용된다.
책에는 무슨무슨 꼴의 대수적 형태로 정리가 되면 선형이다! 이런식으로 설명이 되어있는데 우리가 이해해야 하는건 이런게 아니고 이 미분방정식은 중첩의 원리가 적용된다는 것이다.
즉, 선형상미분방정식의 해는 기저들의 linear combination으로 나타낼 수 있다는 것이고 이는 고차 선형미분방정식의 풀이의 핵심이다. 미리 설명하면, 고차 항들 각각을 독립적으로 한번만 미분한 변수로 생각하고 그것들로 1차 선형미분방정식들의 선형연립방정식을 세운다. 그 연립방정식을 행렬곱으로 표현하고 거기서 나온 기저해들의 linear combination이 고차 미분방정식의 해 space(일반해)가 된다는 것이다. 여기서 나온 기저해들은 지수에 행렬을 달고 있는데 이러면 불편하니까 기저변환행렬에 해당하는 행렬의 고윳값을 구해서 행렬을 상수로 바꿔버린다. 그말은 곧 고차 미방을 풀려면 1차 선형미방의 해를 구할 줄 알아야 한다는 것이다.
어쨋든 저렇게 중첩의 원리가 적용되는 1계 상미분방정식은 대수적으로
\[y^\prime + p(x)y = r(x)\]꼴이다.
여기서 r(x)가 해당 구간에서 0이면 제차, 0이 아니면 비제차이다.
제차의 경우, 변수분리 후 적분하면
\(y = ce^{-\int_{}{}pdx}\)
여기서, c가 0일 때 \(y = 0\)인 trivial solution이므로 모든 제차 선형미분방정식은 \(y = 0\)인 trivial solution을 포함한다고 할 수 있다.
비제차의 경우는
\(e^{\int_{}{}pdx}\)
라는 적분인자가 존재함이 이미 알려져 있고 이를 양변에 곱해서 변수분리 후 적분하면
Bernoulli 방정식
비선형상미분방정식은 풀기 어렵다. 근데 그 중, Bernoulli 방정식의 꼴을 한 비선형상미분방정식의 경우는 적절한 치환을 통해 선형상미분방정식으로 변형할 수가 있다.
\[y^\prime + p(x)y = g(x)y^a\]에서 \(u = y^{1 - a}\) 치환하면 선형상미분방정식의 꼴이 나오고 바로 위에서 정리한 공식을 이용할 수 있다.
끝
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